導(dǎo)語：如何才能寫好一篇變分法的基本原理，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

中圖分類號(hào)：C935 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2014）36-0043-01

1、最優(yōu)控制問題基本介紹

最優(yōu)控制是使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法，是現(xiàn)代控制理論的核心之一，是從大量實(shí)際問題中提煉出來的。它所研究的問題可以概括為：對(duì)一個(gè)受控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動(dòng)過程，從一類允許的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在由某個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)，其性能指標(biāo)最優(yōu)。最優(yōu)控制是最優(yōu)化方法的一個(gè)應(yīng)用。從數(shù)學(xué)意義上說，最優(yōu)化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不等式的條件下，使系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，即最大值或最小值。從經(jīng)濟(jì)意義上說，是在一定的人力、物力和財(cái)力資源條件下，是經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最大（如產(chǎn)值、利潤(rùn)），或者在完成規(guī)定的生產(chǎn)或經(jīng)濟(jì)任務(wù)下，使投入的人力、物力和財(cái)力等資源為最少。

控制理論發(fā)展到今天，經(jīng)歷了古典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個(gè)重要發(fā)展階段，現(xiàn)已進(jìn)入了以大系統(tǒng)理論和智能控制理論為核心的第三個(gè)階段。對(duì)于確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論，實(shí)際是從20世紀(jì)50年代才開始真正發(fā)展起來的，它以1956年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金（Pontryagin）提出的極大值原理和1957年貝爾曼提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法為標(biāo)志。時(shí)至今日，隨著數(shù)字技術(shù)和電子計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，最優(yōu)控制的應(yīng)用已不僅僅局限于高端的航空航天領(lǐng)域，而更加滲入到生產(chǎn)過程、軍事行動(dòng)、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)以及人類的其他有目的的活動(dòng)中，對(duì)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防事業(yè)起著非常重要的作用。

對(duì)于靜態(tài)優(yōu)化的方法，解決的主要是如何求解函數(shù)的極值問題；變分法則被用來求解泛函的極值問題；極小值原理的方法，適用于類似最短時(shí)間控制、最少燃料控制的問題。另外，還有線性系統(tǒng)二次型指標(biāo)的最優(yōu)控制，即線性二次型問題。與解析法相比，用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)系統(tǒng)有如下的特點(diǎn)：

（1）適用于多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

（2）初始條件可以任意。

（3）可以滿足多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的要求，并可用于多個(gè)約束的情況。

2、最優(yōu)控制的求解方法

2.1 變分法

變分法是求解泛函極值的一種經(jīng)典方法，可以確定容許控制為開集的最優(yōu)控制函數(shù)，也是研究最優(yōu)控制問題的一種重要工具。掌握變分法的基本原理，還有助于理解以最小值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等最優(yōu)控制理論的思想和內(nèi)容。

但是，變分法作為一種古典的求解最優(yōu)控制的方法，只有當(dāng)控制向量u（t）不受任何約束，其容許控制集合充滿整個(gè)m維控制空間，用古典變分法來處理等式約束條件下的最優(yōu)控制問題才是行之有效的。在許多實(shí)際控制問題中，控制函數(shù)的取值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個(gè)極限值范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)的力矩只能在正負(fù)的最大值范圍內(nèi)產(chǎn)生等。因此，古典變分法不適于解決許多重要的實(shí)際最優(yōu)控制問題。

2.2 最小值原理

極小值原理是對(duì)經(jīng)典變分法的擴(kuò)展，可以解決經(jīng)典變分法無法解決的最優(yōu)控制問題。也就是當(dāng)控制有約束，哈密頓函數(shù)H對(duì)U不可微時(shí)，要用極小值原理。所得出的最優(yōu)控制必要條件與變分法所得的條件的差別，僅在于用哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制上取值的條件代替，可以看出，后者可以作為前者的特殊情況。其他條件包括正則方程，橫截條件，邊界條件等都一樣。需要注意的是，極小值原理解決最短時(shí)間控制問題時(shí)，最短時(shí)間的控制量只能取約束的邊界值+1或-1；而最少燃料控制的控制量可取邊界值+1、-1、0。

用極小值原理解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制將導(dǎo)致非線性兩點(diǎn)邊值問題，這類問題求解是很困難的。即使系統(tǒng)是線性的，但當(dāng)指標(biāo)函數(shù)是最短時(shí)間、最少燃料這種形式，要求得到最優(yōu)控制的解析表達(dá)式，并構(gòu)成反饋控制（即把U（t）表示為X（t）的函數(shù)）也是非常困難的。

2.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃

動(dòng)態(tài)規(guī)劃又稱為多級(jí)決策理論，是貝爾曼提出的一種非線性規(guī)劃方法。它將一個(gè)多級(jí)決策問題化為一系列單極決策問題，從最后一級(jí)狀態(tài)開始到初始狀態(tài)為止，逆向遞推求解最優(yōu)決策。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法原理簡(jiǎn)明，適用于計(jì)算機(jī)求解，在許多理論問題的研究中，都應(yīng)用到動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)化問題的重要方法，在應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，有一個(gè)前提條件是系統(tǒng)的狀態(tài)變量必須滿足“無后效性”。所謂無后效性的概念是：在任一時(shí)刻，系統(tǒng)狀態(tài)為x（），以后的狀態(tài)僅決定于x（）以及x（）到達(dá)終點(diǎn)時(shí)刻的狀態(tài)x（）的控制策略，而與以前的狀態(tài)和以前的控制策略無關(guān)。因此，在應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法時(shí)，要注意狀態(tài)變量的選取，使之滿足“無后效性”的條件。例如，討論物體在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅選用物體的空間位置座位狀態(tài)變量，而且要將速度變量也包括在狀態(tài)變量之內(nèi)，以便滿足“無后效性”的條件。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的局限性還表現(xiàn)在所謂的“維數(shù)災(zāi)難”問題：當(dāng)狀態(tài)變量的維數(shù)增加，要求計(jì)算機(jī)內(nèi)存成指數(shù)倍增長(zhǎng)，計(jì)算工作量也大大增加。此外，求解連續(xù)決策過程采用的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法得到的哈密頓-雅克比方程是偏微分方程，求解x（）也是相當(dāng)困難的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃雖然提供的是充分條件，但是，由于連續(xù)型系統(tǒng)的哈密頓-雅克比方程難于求解而不能滿足實(shí)際需要。

2.4 線性二次型最優(yōu)控制

線性二次型問題的實(shí)用意義在于：把它所得到的最優(yōu)反饋控制與非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制結(jié)合起來，可減少開環(huán)控制的誤差，達(dá)到更精確的控制的目的。

與經(jīng)典控制問題相比，線性二次型問題有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：第一，它研究的是多輸入多輸出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制問題，其中包括了作為特例的單輸入單輸出情形；第二，它的性能指標(biāo)是綜合性的，既包含有誤差的成分，又包含有控制能量的成分。根據(jù)線性的最優(yōu)反饋控制律，即控制量正比與狀態(tài)變量，可寫成或。把這種線性二次型問題的最優(yōu)控制與非線性系統(tǒng)的開環(huán)控制結(jié)合起來，還可減少開環(huán)控制的誤差。線性二次型問題的最優(yōu)控制一般可分狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題和伺服跟蹤問題兩大類。

對(duì)于終端時(shí)刻tf有限的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，要求加權(quán)陣P、Q為對(duì)稱半正定，R為對(duì)稱正定，但并不要求系統(tǒng)完全可控。

3、三種方法之間的相互關(guān)系

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、極小值原理和變分法，都是求解最優(yōu)控制問題的重要方法。由動(dòng)態(tài)規(guī)劃的哈密頓-雅克比方程，可以推得變分法中的歐拉方程和橫截條件：也可以推得極小值原理的必要條件。

變分法對(duì)解決開集約束的最優(yōu)控制問題十分有效，但對(duì)于處理閉集性約束就無能為力了。變分法與極小值原理都可以解微分方程所描述的變分問題作為目標(biāo)，結(jié)果得出了一組常微分方程所表示的必要條件。這三種方法要求的條件不同，其中屬動(dòng)態(tài)規(guī)劃要求最高。在所要求的條件都滿足的情況下，使用這三種方法所得結(jié)論相同。

參考文獻(xiàn)

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[3] 于長(zhǎng)官-現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用.哈爾冰工業(yè)大學(xué)出版社，2005.1.

篇2

關(guān)鍵詞：

最小二乘有限元法； 有限體積法； CFD； 預(yù)處理共軛梯度法； Kovasznay流動(dòng)； 后臺(tái)階流動(dòng)； 圓柱繞流

中圖分類號(hào)： O35；TB115.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Application comparison of least square finite element method and finite volume method in CFD

TAO Sha1, YANG Zhigang1, JIANG Bonan2, GU Wenjun1

(1. Shanghai Automotive Wind Tunnel Center, Tongji University, Shanghai 201804, China;

2. Department of Mathematics and Statistics, Oakland University, Miami 48309, USA)

Abstract： To compare the advantages and disadvantages of Least Square Finite Element Method(LSFEM) and finite volume method in actural applications, a least square method is used to discrete the finite element model of incompressible N-S equation, the positive definite symmetric linear system is obtained, and the equations are solved by efficient preconditioned conjugate gradient method; the least square finite element method and FLUENT which is based on finite volume method are separately used to calculate the examples such as Kovasznay flow, steady 2D and 3D backward-facing step flows, and unsteady flow around cylinder. The comparison results indicate that the least square finite element method performs better convergence rate and accuracy than finite volume method and shows good application value in CFD.

Key words：

least square finite element method; finite volume method; CFD; preconditioned conjugate gradient method; Kovasznay flow; backward-facing step flow; flow around cylinder

0 引 言

近30年來，最小二乘有限元法（Least Square Finite Element Method，LSFEM）在流體動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用得到越來越多的關(guān)注，其引入殘量最小化概念求解N-S方程，具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性，不需要驗(yàn)證LBB條件［1］，能更靈活地選擇有限元計(jì)算域.此外，LSFEM求解各種條件下N-S方程的離散形式都正定對(duì)稱，有利于選擇高效、統(tǒng)一的求解方法而不需要任何迎風(fēng)格式和調(diào)節(jié)參數(shù)，使得基于LSFEM的計(jì)算代碼具有很強(qiáng)的通用性.［2］

目前，大多數(shù)針對(duì)LSFEM的研究主要側(cè)重于可行性探索和論證［2-8］，尚未見對(duì)其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的研究.本文用基于LSFEM的計(jì)算代碼模擬各種條件下的流體算例，與現(xiàn)今廣泛應(yīng)用的基于有限體積法的FLUENT軟件進(jìn)行比較分析，探索LSFEM在CFD領(lǐng)域推廣應(yīng)用的價(jià)值和途徑.

1 不可壓N-S方程的LSFEM簡(jiǎn)介

1.1 不可壓N-S方程1階偏微分形式

不可壓N-S方程可寫成無量綱形式

式中：U為來流特征速度；L為流場(chǎng)特征長(zhǎng)度；ν為運(yùn)動(dòng)黏度.

由于式(1)中含有速度的2階導(dǎo)數(shù)，直接對(duì)其使用LSFEM需要采用連續(xù)可微的形函數(shù).為避免該問題，可引入獨(dú)立未知量的渦量ω[WTBX]=（ωx,ωy,ωz）=Δ×u[WTBX]，得不可壓N-S方程的“速度-渦量-壓力”1階偏微分形式［2］

由于式(3)中的對(duì)流項(xiàng)u?Δu為非線性，需用牛頓法進(jìn)行線性化處理，得

u0?Δu+u?Δu0+Δp+

1ReΔ×ω=

f+u0?Δu0

(4)

將上述方法運(yùn)用于笛卡爾坐標(biāo)系下的二維問題，可得1階偏微分方程組

u0ux+uu0x+v0uy+vu0y+px+1Reωy=fx+u0u0x+v0u0y

u0vx+uv0x+v0vy+vv0y+py－1Reωx=fy+u0v0x+v0v0y

ω+uy－vx=0

ux+vy=0(5)

1.2 基于1階偏微分方程組的LSFEM

用最小二乘法求解1階偏微分方程組的基本原理為殘差的L2范數(shù)最小化.考慮如下1階偏微分靜態(tài)邊值問題［3］

Au=f， x∈Ω

Bu=g， x∈Γ[JB)][JY](6)

式中：Ω為有界實(shí)數(shù)空間；Γ為Ω的分段連續(xù)邊界；f和g為給定向量；B為邊界代數(shù)算子；A為1階偏微分算子，

Au=ndi=1Aiuxi+A0[WTHX]u[JY] (7)

式中：nd為空間維度；[WTHX]u = (u1,u2,…,um)T代表m個(gè)[WTHX]x=(x1,x2,…,xnd)的未知函數(shù)；[WTHX]Ai和[WTHX]A0為隨[WTHX]x變化的Neq×m矩陣，Neq為方程組中的方程數(shù)量.

設(shè)式(6)解的試探函數(shù)為ν，ν屬于希爾伯特空間L2(Ω)且滿足邊界條件

Bν=g， x∈Γ (8)

并定義殘差函數(shù)

R=Aν－f

(9)

求解式(6)可得適當(dāng)?shù)摩停箽埐畹腖2范數(shù)[WTHX]R2取最小值.

令

運(yùn)用變分法求解

limt0ddtI([WTHX]u +[WTHX]vt)2∫Ω ([WTHX]Av)T([WTHX]Au-[WTHX]f)dΩ=0 (11)

得

B(u,v)=F(v)

B(u,v)(Au,Av)

F(v)(f,Av)[JB)][JY](12)

將式(5)所示的二維N-S方程組寫成如式(6)所示的1階偏微分系統(tǒng)，得

A0=0000u0xu0y00v0xv0y000001

A1=1000u00100u001Re0－100

A2=0100v0001Re0v0101000

f=0fx+u0u0x+v0u0yfy+u0v0x+v0v0y0

u=uvpω[JB)][JY](13)

利用式(12)所示方法求解式(13).式(12)為對(duì)稱雙線性系統(tǒng)，適于求解偏微分方程的各類邊值問題，因此LSFEM在工程中各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用具有統(tǒng)一的計(jì)算格式，不需另加數(shù)值差分格式.當(dāng)遇到不同的問題時(shí)，只需重新輸入相對(duì)應(yīng)的A0，Ai和f值即可，給編寫通用的求解代碼帶來很大的便利.

引入有限元分析，將原定義域分解為一系列子元素，在每個(gè)子元素內(nèi)使用適當(dāng)?shù)男魏瘮?shù)

因此，LSFEM對(duì)任意適定的式(6)進(jìn)行離散化，都可得到正定對(duì)稱矩陣K[WTBZ]，有利于選用高效、統(tǒng)一的迭代方法求解方程組.本文采用預(yù)處理共軛梯度法［9］，該法在求解大型正定對(duì)稱矩陣系統(tǒng)時(shí)具有很高的迭代率和收斂性.

2 計(jì)算實(shí)例和對(duì)比結(jié)果

2.1 Kovasznay流動(dòng)

考慮具有精確解的Kovasznay流動(dòng)［10］，驗(yàn)證LSFEM離散定常不可壓N-S方程的收斂性.KOVASZNAY［10］給出如下滿足N-S方程的精確解

u(x,y)=1－eλxcos(2πy)

v(x,y)=λ2πeλxsin(2πy)

p(x,y)=p0－12e2λx

λ=Re2－(Re24+4π2)1/2(19)

式中：p0為參考?jí)毫?任意常數(shù)).Kovasznay流動(dòng)的結(jié)果與二維周期圓柱列后的尾跡流動(dòng)非常相似，圖1和2分別為Re=40時(shí)精確解的流函數(shù)分布和速度u的分布.

根據(jù)離散方法收斂率的定義可知，隨著網(wǎng)格尺寸的不斷減小，計(jì)算結(jié)果的L2誤差也逐漸減小，并且二者在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中呈線性關(guān)系，其斜率即為收斂率.本文在［-0.5,1.5］×［-0.5,1.5］的計(jì)算域內(nèi)分別劃分8×8，16×16，32×32和64×64個(gè)網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算域邊界上采用精確解的邊界值作為第一類邊界條件.分別采用LSFEM代碼與FLUENT計(jì)算得到速度u和v殘差的L2范數(shù)收斂率，見圖3.

由圖3可知，2階精度LSFEM的收斂率達(dá)到4，表現(xiàn)出超收斂性；而2階精度FLUENT的收斂率只有2，因此LSFEM的收斂性遠(yuǎn)優(yōu)于FLUENT.

2.2 定常二維后臺(tái)階流動(dòng)

后臺(tái)階流動(dòng)是工程中常見的流動(dòng)現(xiàn)象之一，其流動(dòng)現(xiàn)象較復(fù)雜，本文僅對(duì)其層流范疇內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行分析.ARMALY等［11］對(duì)后臺(tái)階分離流進(jìn)行較為系統(tǒng)和全面的實(shí)驗(yàn)研究，本文參考的數(shù)據(jù)來源于他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.根據(jù)ARMALY等的實(shí)驗(yàn)設(shè)置設(shè)定后臺(tái)階幾何模型，見圖4，幾何模型的尺寸見表1，各邊界條件和待測(cè)參數(shù)設(shè)置見圖5.

用LSFEM和FLUENT模擬二維后臺(tái)階流動(dòng)所得值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比見圖7，可知，當(dāng)Re小于400時(shí)，LSFEM得到的數(shù)值結(jié)果比FLUENT更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果；當(dāng)Re大于400時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)存在的三維效應(yīng)，2種數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)值都有一定偏差；此外，F(xiàn)LUENT在Re大于600后，結(jié)果出現(xiàn)較大振蕩，無法收斂，而LSFEM仍然得到穩(wěn)定解，也說明LSFEM的穩(wěn)定性優(yōu)于FLUENT.

2.3 定常三維后臺(tái)階流動(dòng)

為進(jìn)一步驗(yàn)證LSFEM對(duì)于三維流動(dòng)計(jì)算的適用性，同時(shí)也為排除實(shí)驗(yàn)結(jié)果中由于三維效應(yīng)影響所產(chǎn)生的誤差，本文在上述二維后臺(tái)階流動(dòng)算例基礎(chǔ)上進(jìn)行三維后臺(tái)階流動(dòng)數(shù)值模擬.

LSFEM和FLUENT模擬三維后臺(tái)階流動(dòng)所得x1值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比見圖8，可知，當(dāng)Re較大時(shí)，三維計(jì)算結(jié)果比二維計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)值確實(shí)受到三維效應(yīng)的影響；LSFEM的三維計(jì)算結(jié)果明顯比FLUENT更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步證明LSFEM在求解定常N-S方程時(shí)具有比FLUENT更高的精確性.此外，LSFEM可采用更高階的精度以得到更精確的數(shù)值結(jié)果.因此，在對(duì)計(jì)算精度要求較高時(shí)，LSFEM更勝任.

2.4 非定常圓柱繞流

圓柱繞流不僅是經(jīng)典的流體力學(xué)問題，而且在工程實(shí)際中也具有重要意義.當(dāng)流場(chǎng)中Re大于40時(shí)，圓柱上的附著渦瓦解，下游流場(chǎng)不再定常并在后緣上、下兩側(cè)出現(xiàn)周期性輪流脫落的渦，形成卡門渦街.WILLIAMSON［13］曾對(duì)該流動(dòng)情況下Re與斯特勞哈數(shù)的關(guān)系進(jìn)行過詳盡研究.本文以WILLIAMSON的研究結(jié)果為參照，考察2種數(shù)值方法求解非定常N-S方程的準(zhǔn)確性.

圓柱繞流幾何模型見圖9，定常速度入口和Re分別取100和200.分析通過2種數(shù)值方法得到的斯特勞哈數(shù)，LSFEM和FLUENT模擬非定常圓柱繞流所得到的斯特勞哈數(shù)與參照值對(duì)比見表2，可知，LSFEM在非定常數(shù)值計(jì)算中也具有較高的準(zhǔn)確性.

3 結(jié)束語

簡(jiǎn)介L(zhǎng)SFEM求解不可壓N-S方程的過程，由此具體說明LSFEM的優(yōu)點(diǎn).通過計(jì)算實(shí)例證明，相對(duì)于目前廣泛應(yīng)用于CFD的FLUENT，LSFEM具有更高的收斂率和精確性.此外，不可壓N-S方程的LSFEM求解代碼不需要另加任何迎風(fēng)格式和調(diào)節(jié)參數(shù)，代碼簡(jiǎn)單、通用，避免人為設(shè)置參數(shù)導(dǎo)致的結(jié)果偏差問題.從理論上講，LSFEM繼承FLUENT的高階特性，可采用高階網(wǎng)格達(dá)到更高精度，具有很高的實(shí)際推廣價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

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